"Talvez a matemática seja eficiente ao representar a linguagem subjacente ao cérebro
humano. Talvez os únicos padrões de que nos apercebemos sejam matemáticos, por ela
ser o instrumento da nossa percepção. Talvez seja eficiente a organizar a existência
física porque é inspirada por existência física. Talvez não existam padrões reais, mas
apenas aqueles que nós, de espírito fraco, impomos".
Eugene Wigner
Chaos et Fractus
Teoria do Caos
A teoria das estruturas dissipativas, também conhecida como teioria do caos, tem como principal representante o químico belga Ilya Priogine, e afirma que o mundo não segue estritamente um modelo de relógio, ou seja, previsível e determinado, e sim, que tem aspectos caóticos.
Alguns cientistas, principalmente o matemático, físico e filósofo francês Jules Henri Poincaré (1854-1912), começaram a perceber que a dificuldade de resolução apresentada por certos sistemas dinâmicos não estava limitada à quantidade de técnicas até então existentes, mas havia limitações intrínsecas, diante das quais se podia demonstrar, por exemplo, que certos sistemas sequer admitem solução analítica, não são "integráveis". O estudo desses sistemas só pode ser realizado impondo-se condições particulares ou por soluções numéricas, na época, ainda sem a ajuda dos computadores, muito trabalhosas. É o caso do sistema envolvendo três corpos que se atraem através da força gravitacional - um problema de mecânica celeste que, no caso de dois corpos, foi tão bem resolvido por Newton.
Poincaré enfocou esse problema no seu famoso ensaio de 1890 Sur le Probléme des Trois Corps et les Équations de la Dynamique e na sua coleção de três volumes Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste, produzida entre os anos de 1892 e 1899.
Ele provou que o problema de três corpos de forma geral não é integrável, pois não existem "integrais adicionais" para resolver o sistema (DRESDEN, 1992b).
Somente alguns casos particulares são integráveis. Poincaré, então, desenvolveu novos métodos qualitativos de análise matemática que deram origem à "topologia".
Uma outra característica presente no problema de três corpos, para certos parâmetros, viria a perturbar definitivamente a confiança na predição: a sensibilidade apresentada em relação às condições iniciais. Essa sensibilidade levou Poincaré a refletir sobre a possibilidade do conhecimento exato da situação inicial e as conseqüências sobre o comportamento final.
Ele observou em Science et Méthode, de 1908:
"Uma causa muito pequena, que nos passa despercebida, determina um efeito considerável que não podemos deixar de ver, e então dizemos que o efeito é devido ao acaso. Se conhecêssemos exatamente as leis da natureza e a situação do universo no momento inicial, poderíamos prever exatamente a situação desse mesmo universo no momento seguinte.
Contudo, mesmo que as leis naturais já não tivessem segredos para nós, ainda assim poderíamos conhecer a situação aproximadamente. Se isso nos permitisse prever a situação seguinte com a mesma aproximação, seria tudo o que precisaríamos, e diríamos que o fenômeno tinha sido previsto, que é governado por leis.
Mas nem sempre é assim; pode acontecer que pequenas diferenças nas condições iniciais produzam diferenças muito grandes nos fenômenos finais. Um pequeno erro nas primeiras produzirá um erro enorme nas últimas. A previsão torna-se impossível."
Suas observações estavam bem próximas da caracterização do comportamento caótico. Algumas ferramentas hoje utilizadas no estudo dos sistemas dinâmicos, em particular no comportamento caótico, foram criadas ou tiveram seu embrião nos trabalhos de Poincaré. Uma dessas ferramentas, que permite analisar sistemas dinâmicos tridimensionais com métodos análogos aos utilizados num plano, observando o comportamento de uma trajetória em sua vizinhança, é o
"mapa de Poincaré".
Outra ferramenta, desenvolvida mais profundamente pelo físico e matemático russo Aleksandr Mikhailovich Lyapunov (1857-1918) e a escola de Gorki (hoje Nizhny Novgorod, na Rússia), surgiu de uma nova conceituação de estabilidade: soluções estáveis eram distinguidas de soluções instáveis por um "coeficiente característico", hoje conhecido como "expoente de Lyapunov".
O expoente de Lyapunov mede a velocidade de divergência - ou de convergência - de duas trajetórias vizinhas no espaço de fase.
Ildeu de Castro Moreira (1992 e 1993) acrescenta que James Clerk Maxwell (1831-1879), vinte anos antes de Poincaré, já havia advertido à comunidade científica da época sobre a impossibilidade de previsões precisas mesmo em sistemas de poucas partículas. Maxwell não só percebeu esta característica nos sistemas físicos como arriscou-se a tecer considerações filosóficas sobre o livre-arbítrio e as limitações do determinismo.
David Ruelle alinha ao trabalho de Poincaré outros dois cientistas franceses que contribuíram na percepção da sensibilidade às condições iniciais: Jacques Hadamard (1865-1963) e Pierre Duhem (1861-1916).
Num livro para o grande público editado em 1906, Duhem intitulou um parágrafo: "Exemplo de dedução matemática para sempre inutilizável". Como ele explica, essa dedução matemática é o cálculo de uma trajetória sobre o bilhar de Hadamard.
Ela é "para sempre inutilizável" porque uma pequena incerteza, necessariamente presente na condição inicial, dá lugar a uma grande incerteza sobre a trajetória calculada se esperarmos por um tempo suficientemente longo, e isso torna sem valor a predição. (RUELLE, 1991:66)
Hadamard, Duhem e Poincaré perceberam a existência desses sistemas dinâmicos não-lineares com sensibilidade às condições iniciais, porém essa descoberta não repercutiu imediatamente sobre a comunidade científica.
Ruelle discute duas razões que considera terem sido responsáveis pelo enorme atraso na repercussão das idéias de Poincaré e subentende uma terceira razão: a inexistência dos computadores.
Para o intervalo surpreendente que separa Poincaré e os estudos modernos do caos, podemos citar a descoberta da mecânica quântica, que revolucionou o mundo da física e ocupou todas as energias de várias gerações de físicos. ...
Na Mecânica Quântica a descrição de fenômenos microscópicos passava a ter uma descrição de caráter essencialmente probabilístico.
Há também, uma outra razão para o esquecimento em que caíram as idéias de Hadamard, Duhem e Poincaré: elas vieram muito cedo, não existiam ainda os meios de explorá-las... É preciso notar também que, quando não conseguimos tratar matematicamente um problema, sempre podemos estudá-lo numericamente pelo computador.
Mas este método, que desempenhou um papel essencial no estudo do caos, evidentemente não existia no início do século XX. (RUELLE, 1991:68)
Na realidade, apesar de freqüentemente revisitados, até recentemente os trabalhos de Poincaré não foram mobilizados de maneira integrada.
O sucesso dos sistemas dinâmicos lineares, com solução analítica, concentrou a atenção de várias gerações de cientistas. Stewart comenta, com certa dose de ironia, como vinham sendo tratados alguns problemas envolvendo equações não-lineares.
Na época clássica, à falta de técnicas para fazer face a não-linearidades, o processo de linearização foi levado a extremos que muitas vezes tinham lugar enquanto as equações estavam sendo formuladas, por exemplo: a equação clássica do calor é linear, antes mesmo que se tente resolvê-la.
Equação do calor (fonte wikipédia)
Acontece, que o fluxo de calor real não o é, e segundo pelo menos um especialista, Clifford Truesdell, por maior que tenha sido o bem que fez para a matemática, a equação clássica do calor só causou prejuízo à física do calor. (STEWART, 1989:92)
Embora tenha sido percebido desde a época de Poincaré, o comportamento caótico em sistemas não-lineares só foi reconhecido, enquanto tal, no início dos anos de 1960.
Desta forma, a Teoria do Caos pode ser considerada como a teoria que deu origem ao estudo de objetos e formas complexas, até então não estudadas e que eram consideradas desorganizadas, mas que na verdade possuíam seqüências de detalhes em comum.
Conforme Secco e Rocha (2004) a Teoria do Caos pode ser vista como um universo com sistemas, ou um conjunto de objetos que inter-relacionam, extremamente sensíveis às condições iniciais, uma simples alteração poderá levar a uma mudança no resultado.
Sistemas caóticos são indeterminísticos, ou seja, seus resultados não são possíveis de serem previstos e seu comportamento não é periódico.
Entre os sistemas consideram-se duas categorias: lineares e não-lineares, que divergem entre si na sua relação de causa e efeito.
Na primeira, a resposta a um distúrbio é diretamente proporcional à intensidade deste.
Já na segunda, a resposta não é necessariamente proporcional à intensidade do distúrbio, e é esta a categoria de sistemas que serve de objeto à teoria do caos, mais conhecidos como sistemas dinâmicos não-lineares.
Esta teoria estuda o comportamento aleatório e imprevisível dos sistemas, mostrando uma faceta onde podem ocorrer irregularidades na uniformidade da natureza como um todo. Isto ocorre a partir de pequenas alterações que aparentemente nada têm a ver com o evento futuro, alterando toda uma previsão física dita precisa.
Uma das idéias centrais desta teoria, é que os comportamentos casuais (aleatórios) também são governados por leis e que estas podem predizer dois resultados para uma entrada de dados.
O primeiro é uma resposta ordenada e lisa e cujo futuro dos eventos ocorre dentro de margens estatísticas de erros previsíveis.
O segundo é uma resposta também ordenada, onde porém a resultante futura dos eventos é corrugada, onde a superfície é áspera, caótica, ou seja, ocorre uma contradição neste ponto onde é previsível que os resultados de um determinado sistema será caótico.
Segundo Batanete e Castro (2004) a teoria do Caos não é uma teoria de desordem, mas busca, no aparente acaso, uma ordem intrínseca determinada por leis precisas. Além do clima, outros processos aparentemente causais apresentam certa ordem, como crescimento populacional e a flutuação do mercado financeiro.
O meteorologista Lorenz, que estudava a variação do clima a longo prazo, foi o primeiro a perceber que pequenas variações em uma situação inicial podem causar imensas deturpações a longo prazo, exemplificando a sua descoberta com a famosa metáfora "[...] o bater de asas de uma borboleta pode causar um tufão do outro lado do mundo.[...]" (apud Gleick 1990), conhecida como a metáfora do efeito borboleta.
A metáfora da borboleta que provoca um tornado nasceu em uma palestra apresentada por Lorenz no 139° Encontro da Associação Americana para o Avanço da Ciência, em Washington, D.C, em 29 de dezembro de 1972, intitulada Predictability: Does the Flap of a Butterfly's Wings in Brazil set off a Tornado in Texas?
(Previsibilidade: A Batida das Asas de uma Borboleta no Brasil provoca um Tornado no Texas?), publicada pelo autor em seu livro The Essence of Chaos. A escolha do Brasil e do Texas se deve ao efeito sonoro das combinações de palavras (butterfly-Brazil, tornado-Texas) e ao fato de estarem localizados em hemisférios diferentes, o que dificulta a análise do efeito do bater das asas (LORENZ, 1995).
O autor não responde à questão que levanta, mas a borboleta viria a se transformar num símbolo de sensibilidade às condições iniciais. O sucesso dessa metáfora se deve também à aparência de borboleta na representação do atrator de Lorenz e à grande repercussão do livro de James Gleick, onde o "Efeito Borboleta" aparece como título do primeiro capítulo (HILBORN,2004).
Atrator
O atrator pode ser definido como o comportamento que um sistema dinâmico que independentemente do ponto de partida, tem a tendência para convergir para um ponto (atrator).
Um exemplo clássico que pode ser utilizado para a descrição de um atrator, é uma bola rolando sobre um plano. Devido ao efeito do atrito o movimento da bola tenderá a convergir sempre para uma situação cuja velocidade é nula. Este é o atrator, o movimento zero.
Outro exemplo de atrator é um pêndulo em movimento. O seu balanço, sempre tenderá a convergir para uma oscilação cujo período é constante, isto é, o atrator, é o período constante.
Atrator estranho de Lorenz
Ao observarmos os resultados dos estados das Equações de Lorenz e os representarmos num gráfico tridimensional, observaremos que haverá uma convergência em direção a um atrator tridimensional.
A figura resultante terá um padrão que não corresponderá nem à órbitas, nem à imobilizações, isto é, o resultado obtido, pode ser considerado diferente do que se esperaria de um atrator, ou seja o resultado que poderá ser considerado estranho.
Logo, no caso acima o sistema em questão não assumirá jamais duas vezes o mesmo estado. Haverá sim uma região onde existirão mais pontos, formando até padrões, mas a figura e seus pontos serão caóticos. Este sistema caótico é considerado imprevisível, porém ocorre o fato estranho: ao mesmo tempo que o sistema é caótico, paradoxalmente converge para um atrator determinado. A concepção destas idéias, ganhou força com o uso de computadores.
Os atratores estranhos geram figuras com "dimensão fracionária", conhecidas como Fractais. Através do cálculo dessa dimensão pode-se inferir algumas características do comportamento caótico. Para se ter uma idéia de dimensão fracionária imagina-se uma linha de comprimento infinito, composta de pequenos segmentos com orientações diferentes, que pode ser vista como uma linha muito rugosa. Esta linha rugosa teria uma dimensão entre um e dois.
Uma propriedade típica dos Fractais é a auto-similaridade, ou invariância na mudança de escala:
durante a evolução do fractal formam-se figuras similares em diferentes dimensões.
A relação entre o comportamento caótico e a dimensão fracionária do atrator estranho contribuiu para se estabelecer uma estreita, porém equivocada, ligação entre o Caos e os Fractais: embora também tenha extensões na teoria dos sistemas dinâmicos não-lineares (diversas figuras fractais são geradas por sistemas de equações não-lineares), a história dos Fractais e suas aplicações se desenvolveu de forma totalmente independente da história do Caos.
A grande maioria dos fractais não tem ligação com o comportamento caótico.
Fractais
A origem dos fractais se deu entre os anos de 1857 e 1913 quando alguns cientistas catalogavam alguns objetos que julgavam não ter valor científico na época e como tal eram denominados " demônios". Segundo Clemente (s.data), " a partir desse trabalho surge a ideia de fractal".
O fractal (do latim fractus, fração, quebrado) é uma figura com propriedades e características peculiares que o diferencia das figuras geométricas habituais.
O fractal pode ser dividido em partes, cada uma delas semelhante ao objeto original, como um todo.
Em muitos casos ele pode ser obtido por um processo iterativo ou recorrente.
Desta forma o fractal apresenta duas características muito frequentes, uma complexidade infinita, nunca poderemos representá-lo totalmente, pois sempre existirão reentrâncias e saliências cada vez menores repetindo um determinado padrão com ligeiras e constantes variações de si mesmo no seu interior, a autosimilaridade.
Como conseqüência dessa auto-similaridade, as diferentes partes de um fractal se mostram similares ao todo. Assim, os fractais têm cópias aproximadas de si em seu interior.
São muitas as definições de Fractal, mas podemos adotar a definição segundo J. Feder (1988), "um fractal é uma forma cujas partes se assemelham ao seu todo sob alguns aspectos".
O termo fractal foi utilizado pela primeira vez em 1967 por Bernoit Mandelbrot considerado o pai dos fractais. Quando estava preparando sua primeira obra importante sobre fractais para publicação em livro, Mandelbrot sentiu necessidade de encontrar um nome para a sua geometria. Começou a consultar um dicionário de latim do seu filho, onde encontrou o adjetivo fractus, do verbo frangere, que significa quebrar. Criou então a palavra fractal. [Monografia Fractais, pág 15]
Mas foi a partir dos anos 60, com o avanço científico e tecnológico, que surgem os primeiros fractais. Eles se dividem basicamente em duas categorias: os geométricos e os aleatórios.
A geometria fractal pode ser estudada em qualquer nível do ensino, pois pode-se partir da divisão de segmentos, fazer dobraduras para criar cartões, dividir figuras planas indefinidamente e colori-las nas aulas de artes ou usando recurso computacionais ou ainda, em um nível mais complexo, estudar entes matemáticos que envolvem modelagem, números complexos, entre outros.
Ou seja, os fractais podem ser usados para mostrar a conexão existente entre a Geometria e a Aritmética, dois ramos da Matemática.
Além disso, os fractais podem ser um dos meios para fazer a ligação entre a Matemática e a Natureza, entre a Matemática e as Artes.
Dessa forma, pretende-se mostrar a importância daquela que é a rainha das ciências e que costuma ser vista, pelos estudantes, como "o que bota terror".[Anais do XI Encontro Nacional de Educação Matemática - ISSN 2178-034X ]
Para a ligação com a matemática, é possível utilizar a construção da curva de Koch que começa com uma simples linha reta que é chamada de iniciador, onde seu terço médio é trocado por um triângulo eqüilátero do qual é retirado o segmento de sua base. A construção obtida, constituída por quatro segmentos, será copiada e reduzida, para ser reusada, sendo chamada de gerador.
O processo é repetido várias vezes, ou seja, pegar o terço médio de cada novo segmento gerado e trocá-lo por um triângulo eqüilátero sem base.
Construção da Curva de Koch
Com as artes podemos utilizar como exemplo o tapete de Sierpisnki que é construído cortando-se o nono central de um quadrado, cortando depois os centros dos oito quadrados mais pequenos que ficam, e assim por diante.
O análogo tridimensional é a esponja de Menger, uma rede aparentemente sólida com uma área de superfície infinita e volume nulo.
A esponja de Menger, cujo nome faz referência ao matemático que a inventou, o austríaco Karl Menger (1902-1985) é um dos fractais mais curiosos.
De acordo com Machado Neto (2004) podemos obter a esponja de Menger a partir de um cubo, dividindo-o sucessivas vezes para a construção da esponja.
Segundo Assis et al. (2008) o processo de construção se dá de tal forma que, para o nível 1, N = 0, tem-se um cubo maciço de lado l e com volume V0 =l³. Para o nível 2, N = 1, o cubo é dividido em 27 cubos menores e iguais, cada um com uma aresta igual a l/3.
Remove-se o cubo central, bem como os seis cubos situados no meio de cada face do cubo maior.
Este processo é repetido sequencialmente com todos os cubos restantes, dividindo cada um em 27 outros com 1/3 da aresta do cubo imediatamente anterior. Similarmente, remove-se o cubo central e cada cubo na porção central das faces. No terceiro nível, ou seja, N = 2, cada um dos 20 cubos restantes são divididos em mais 27 cubos iguais, dos quais 7 são retirados, cada um com volume (l/9)³.
Assis et al. (2008) conclui que a Esponja de Menger possui volume nulo e uma área infinita na medida em que o número de níveis tende a infinito.
Neste caso o cálculo da dimensão fractal, pelo mesmo método usado anteriormente: D = - ln(n) / ln(r). Neste caso, segue que, n = 20 pois o número cubos aumenta 20 vezes de um nível para outro e o fator de semelhança entre esses cubos é r = 1/3, pois o comprimento da aresta de cada cubo é reduzido em cada nível à um terço. Temos então D ˜ 2,7268.
Esponja de Menger, terceiro estágio.
Conforme Machado Neto (2004) o curioso na Esponja de Menger é que a cada estágio perde-se volume com a retirada de cubos e ganha-se área, pois vão aparecendo cada vez mais túneis. Façamos algumas contas para demonstrar, consideramos um cubo inicial de aresta a.
Após o primeiro estágio, a área da esponja é de
; sabemos que a área total do cubo inicial é apenas 6a² , ou seja, a área aumentou.
O volume da esponja após o primeiro estágio, entretanto, é
, menor que o volume inicial do cubo, que é a³ , ou seja o volume diminui.
Desta forma a cada novo estágio a área aumenta enquanto o volume diminui cada vez mais.
Quando o número de estágios tende ao infinito, a área tende ao infinito e o volume tende a zero, ou seja a esponja de Menger é um objeto geométrico que tem volume zero e área infinita
A prática pedagógica utilizada atualmente no ensino da Matemática procura aproximar cada vez mais os fundamentos teóricos da realidade do aprendiz, correlacionando, para isso, conhecimentos empíricos a aspectos observados no mundo em que vivemos para construção do conhecimento.
Dentro desta perspectiva, trazer para a sala de aula atividades que ao mesmo tempo desenvolvam o raciocínio lógico-matemático e utilizem elementos do mundo concreto do aluno, satisfaz plenamente à expectativa que a metodologia aplicada impõe.
Reforçando a idéia de que alunos precisam experimentar a Matemática por caminhos diferentes do que aplicar algoritmos de papel e lápis a exercícios rotineiros, a Geometria Fractal vem permiti-los explorar os conceitos matemáticos trabalhando com as mãos, tanto na construção de modelos, quanto no desenho de quadros das consecutivas interações dos fractais clássicos.
Transcendendo as limitações impostas pela Matemática Clássica. Mandelbrot, em seu trabalho, ressaltou que os matemáticos foram, de certa forma, iludidos pela Natureza, que mostrou ter mais imaginação na diversidade de formas que apresenta.
A percepção de tais formas levou esses matemáticos a estudá-las sob os aspectos que Euclides não alcançou, tomando-se, assim, um estudo das "formas sem formas" ou "morfologias dos amorfos". Foi aceitando este desafio que Benoit Mandelbrot concebeu e desenvolveu esta Geometria da Natureza e implementou o seu uso em inúmeras aplicações.
A partir desta teoria descreveu vários dos irregulares e fragmentados modelos que encontramos em nossa volta através da família de formas que chamou fractais.[Partes do texto é baseado no artigo APRESENTANDO OS FRACTAIS E APLICAÇÕES EM SALA DE AULA - UNIOESTE - Campus de Foz do Iguaçu]
Publicado na revista Scientific American, em 1985, o Fractal de Mandelbrot tornou-se famoso e sua imagem é encontrada em posters, camisetas, car tões postais, capa de CDs, etc. Sua construção utiliza um sistema de duas equações.
O Fractal de Mandelbrot foi reconhecido como o mais complexo objeto da Matemática, “em seu interior, infinitas regiões podem ser observadas” (JANOS, 2008, p.87).
A dimensão dos fractais diferente do que acontece com a geometria Euclidiana, não é necessariamente uma quantidade inteira, é uma quantidade fracionária. A dimensão de um fractal representa o grau de ocupação deste no espaço que tem a ver com seu grau de irregularidade, a estrutura e o comportamento, quer se trate de uma figura ou de um fenômeno físico, biológico ou social, em 1919, Felix Hausdorff (1868 - 1942) estendeu esta noção de dimensão de similaridade para que ela se aplicasse a todo tipo de formas, além das formas auto-similares, por isso a dimensão fractal é chamada também de dimensão Hausdorff .
Uma curva irregular tem dimensão entre um e dois, enquanto uma superfície irregular tem dimensões entre dois e três.
Comparação entre a dimensão Euclidiana e a dimensão fractal.
(SIQUEIRA, 2005)
Conforme Backers e Bruno (2005) a dimensão fractal de objetos geométricos pode ser calculada usando a fórmula
, onde N é o número de segmentos que substituíram o segmento original, e L é o tamanho do segmento substituído.
Esta formula pode ser usada para o calculo das dimensões de varias figuras, como exemplo a dimensão da esponja de Menger, no primeiro estágio da construção da esponja 7 dos 27 cubinhos são retirados, portanto restam 20 cubos cujas arestas medem 1 / 3 da aresta original, portanto é
que é 2,72 aproximadamente.
Esta fórmula, utilizada para calcular a dimensão fractal, pode ser facilmente demonstrada através de um método chamado de contagem de caixas, que consiste em cobrir uma figura com caixas cada vez menores como mostraremos a seguir.
A demonstração deste método de contagem de caixas, será apresentada a seguir conforme o proposto Xavier (2007).
Quando uma reta é coberta por caixas cada vez menores é possível estabelecer uma relação entre o número de caixas e o tamanho de cada uma delas.
Reta coberta por caixas
Na figura 13 A, observamos que uma caixa de comprimento 1 cobre o quadrado, já a figura 13 B quatro caixas de comprimento 1 / 2 em relação a caixa inicial passam a cobrir o quadrado, por último a figura 13 C mostra que nove caixas de comprimento
1 / 3 , passam a cobrir o quadrado.
Desta forma podemos concluir que N = L -¹ lembrando que a figura possui dimensão de espaço 1.
Fractais na natureza
Conforme Stewart (1996) as formas encontradas nos animais e plantas chamam a atenção dos matemáticos, por exemplo, muitas conchas formam espirais, as estrelas do mar possuem um conjunto simétrico de braços, alguns vírus adotam formas geométricas regulares. Mas além dos padrões de forma, existem os padrões de movimento, como o andar humano, os pés tocam o solo num ritmo regular, esquerda-direita, ou a sidewinder, uma cobra do deserto que se move como uma espiral de
sidewinder
uma mola helicoidal, jogando seu corpo para frente em forma de curvas tentando minimizar seu contato com a areia quente.
Mas a simetria da natureza é também muitas vezes imperfeita, existindo outra categoria de padrões naturais, padrões que existem onde pensávamos que tudo era aleatório e sem forma, estes padrões são chamados de fractais.
"Os fractais podem ser encontrados em todo o universo natural e em toda a ciência, desde o aspecto das nuvens, montanhas, árvores e relâmpagos, até à distribuição das galáxias, assim como na arte e na matemática" (SANTOS; OLIVEIRA, 2004).
Os fractais naturais estão à nossa volta, basta observarmos as nuvens, as montanhas, os rios e seus afluentes, os sistemas de vasos sanguíneos, etc.
Estes objetos foram realmente estudados a fundo no século XX.
Entretanto, objetos da natureza não são verdadeiramente fractais, pois não são infinitamente complexos. Os objetos naturais podem exibir uma estrutura semelhante ao fractal, porém com uma estrutura de tamanho limitado
Geometria fractal
Conforme Fractal (2006) a geometria fractal é o ramo da Matemática que estuda as propriedades e comportamento dos fractais. Descreve muitas situações que não podem ser explicadas facilmente pela geometria clássica, e foram aplicadas em ciência, tecnologia e arte gerada por computador.
Os conceitos dos fractais surgiram através de tentativas de medir o tamanho de objetos para os quais as definições tradicionais baseadas na geometria euclidiana falham.
Características dos Fractais
Um fractal é definido por três características básicas, a autossimilaridade, a complexidade infinita (iteração) e a dimensão fracionária.
Autossimilaridade
Segundo Carvalho (2005) autossimilaridade ou autossemelhança é a mais elementar e marcante das características dos fractais, significa que cada par te em escala menor é exatamente igual ou semelhante à par te inicial, isto é, cada par te ampliada da imagem será igual a da inicial.
Autossimilaridade é que seus padrões característicos são repetidamente encontrados em escala descendente, de modo que suas par tes, em escalas menores, em qualquer escala, são, na forma, semelhantes ao todo (CAPRA,1996, p. 118).
Existem dois tipos de autossemelhança: exata e a aproximada ou estatística.
Ainda segundo (CAPRA, 1996), a autossemelhança exata significa que, mesmo ampliado várias vezes, cada par te é idêntica à original, não impor tando quantas ampliações forem efetuadas.
A autossemelhança aproximada ou estatística significa que o objeto ampliado várias vezes não será igual ao inicial, será apenas semelhante. O fractal possui medidas numéricas ou estatísticas que são preservadas em diferentes escalas.
Os fractais que apresentam a característica da autossemelhança exata são aqueles construídos a partir de figuras geométricas, os chamados Fractais Geométricos, como:
Curva de Koch, Triângulo de Sierpinski...
Enquanto que, os fractais encontrados na natureza, os Fractais Naturais - couve-flor, gengibre, nuvens, entre outros – apresentam uma autossemelhança estatística, pois as par tes são semelhantes em média ao todo, isto é, as partes em escalas menores são apenas parecidas com o todo.
Pelo exposto ao final do texto sobre a teoria do caos, os fractais possuem uma trajetória diversa desta teoria, porém, não obstante, que seja a ela relacionada por apresentar algumas similaridades com os sistemas de equações não lineares, e portanto, que a relação seja mantida.
"[...]. São as estruturas quebradas, complexas, estranhas e belas desta geometria, que conferem uma certa ordem ao caos, e esta é muitas vezes caracterizada como sendo a linguagem do caos" (SANTOS; OLIVEIRA, 2004).
Conforme Rezende e Versignassi (2006) por ela explicar coisas infinitamente complexas, passou a fazer parte desta nova ciência, a Teoria do Caos que iniciou o assunto da postagem.
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